Cours

ELECTRICITÉ

Chapitre 1: Bases de l'électrocinétique

I - Généralités sur les circuits électriques:
Dipôle électrique: Système électrique relié à l'extérieur par deux bornes:

Réseau électrique: Système de dipôles reliés par des conducteurs filiformes de résistance négligeable.
Nœud: Point relié par des fils à plus de deux dipôles.
Branche: Portion du réseau comprise entre deux nœuds voisins.
Maille: Parcours fermé constitué de branches et ne passant qu'une fois par un nœud donné.
Graphe: Schéma représentatif de la topologie du réseau (nature des interconnections) indépendamment de sa forme réelle.

-Exemple de différents graphes pour un même réseau:

G1:

G2:

G3:

nœuds: A, B, C et D (n=4)

branches: AD, DC, DB, BC, AB et AC (b=6)

mailles indépendantes (qui ne sont pas elle-mêmes constituées d'autres mailles):
ABCA (en passant par E et F), ADBA et DCBD (m=3)

remarques:

-Le graphe 1 présente un chevauchement, un graphe est plus facile à analyser lorqu'il est mit à plat comme pour G2 et G3.
-ADCB, par exemple, est une maille non indépendante.

pour information, on montre que: m = b - n + 1 .

L'état physique du réseau est connu quand on a déterminé les courants et les tensions de chacunes des branches (état macroscopique).
Au niveau microscopique, il y a des porteurs de charges dans les conducteurs qui sous l'action d'un champ électrique extérieur se déplacent. Pour un métal ce sont des électrons qui se déplacent au sein du réseau cristallin du métal. Pour les électrolytes les ions jouent le rôle de charge libre.
Charge élémentaire: e

1,6.10^-19C (C: Coulomb), pour un électron q=-e.

II - Grandeurs électriques
1) Intensité
a) Définition:

Cette convention permet de faire abstraction du signe des charges transportée: par exemple dans une électrolyse interviennent des cations, des anions et des électrons, mais une même quantité d'électricité est transporté.

I est une quantité algébrique.

b) Loi des nœuds:

En régime permanent il n'y a pas d'accumulation de charges et il y a conservation de la charge électrique:
Pendant

Q₁ =

Q₂ +

Q₃

Q₁/

t =

Q₂/

t +

Q₃/

quand

t tend vers zéro :
I₁ = I₂ + I₃ .

2) Tension:
a) Définition: Si nous imposons un potentiel électrique différent en deux point d'un circuit un champ électrique est créé et les charges se mettent en mouvement. Soient V_A et V_B les potentiels en deux points d'un circuit, alors on défini la tension entre les points A et B comme une différence de potentiels:

U_AB = V_A - V_{B

flêche
de B vers A}U est une quantité algébrique.

3) L'approximation des régimes quasi-pemanents (ARQP)

Les lois des nœuds et des mailles ne peuvent pas s'appliquer à toutes les situations. Vous montrerez l'année prochaine qu' il est nécessaire que les courants et le tensions du réseau soient continus ou "lentement" variables. Si d est la taille du circuit et

la longueur d'onde électromagnétique du problème alors pour réaliser l'approximation on doit avoir d très petit devant

: d<<

Nous avons

=c/f, avec c la vitesse de la lumière dans le vide et f la fréquence de l'onde.

f	50 Hz	1 MHz	100 MHz	10 GHz
	6000 km	300 m	3 m	3 cm

Dans une installation domestique sous 50 Hz l'ARQP s'applique aisément, mais pas pour l'antenne de votre radio!

III - Dipôles électriques:

1) Convention générateurs et récepteurs

Pour un dipôle AB les choix d'orientations de la tension et du courant sont indépendants et arbitraires, mais, le choix fait, il est crucial de bien noter les sens relatifs choisis:
On dit que le dipôle est étudié en convention récepteur lorsque U et I sont orientés en sens contraire.
On dit que le dipôle est étudié en convention générateur lorsque U et I sont orientés dans le même sens.
D'où quatre possibilités pour un dipôle:

2) Puissance électrocinétique reçue par un dipôle

En convention récepteur : P = U I (CR)
En convention générateur : P = - U I (CG)

La puissance s'exprime en Watt, et correspond à l'énergie reçue par unité de temps. C'est une puissance instantanée qui mesure l'énergie reçue par le dipôle par unité de temps via le reste du circuit: P = P_{réseaux
-> dipôle} = - P_{dipôle-> réseaux} . Cette puissance est reçue par le dipôle et donc fournie par le reste du cicuit.

3) Caractéristique d'un dipôle

La caractéristique d'un dipôle est la représentation graphique de la fonction U(I) ou I(U).
Remarques:

- la caractéristique dépend de la convention, toujours la spécifier!
- la valeur I(U=0) est appelée le courant de court-circuit.
- la valeur U(I=0) est appelée la tension à vide.

Exemple d'une photodiode:

4) Les différents types de dipôles

- Dipôles symètriques / non symètriques: si la caractéristique est impaire alors celui-ci est symétrique (rien ne change dans un circuit lorsqu'on inverse ses bornes).

- Dipôles actifs / passifs: si la caractéristique d'un dipôle passe par l'origine celui-ci est passif, actif sinon.

- Dipôles linéaires / non linéaire: si la caractéristique est une fonction affine le dipôle est linéaire.

Dans l'exemple précédent la photodiode est un dipôle non symètrique, actif et non linéaire.

- Dipôles récepteurs / générateurs: un dipôle récepteur a une puissance positive et un dipôle générateur a une puissance négative.

Le signe de la puissance ne dépend pas de la convention choisie. Un dipôle recepteur reçoit effectivement une énergie du circuit, ce qui ne l'empêche pas d'être parfois étudié en convention générateur. La puissance, comme l'intensité et la tension, est une grandeur algébrique. Par définition on considère la puissance reçue par un dipôle et non celle fournie. Ainsi un dipôle générateur qui fourni effectivement une puissance au réseau électrique sera considéré comme possédant une puissance reçue négative!

	CR	CG
P	U I	- U I
dipôle récepteur	P > 0	P > 0
dipôle générateur	P < 0	P < 0

Exercice: Bilan de puissance.

5) Les dipôles linéaires modèles idéaux:

- La résistance:

CR:
U = R I
I = G U

CG:
U = - R I
I = - G U

où R est la résistance en Ohms (

), et G est la conductance en Siemens (S): G = 1 / R . G et R sont définis positif.

Noir: 0
Marron: 1
Rouge: 2
Orange: 3
Jaune: 4
Vert: 5
Bleu: 6
Violet: 7
Gris: 8
Blanc: 9

De gauche à droite:
-Premier chiffre
-Deuxième chiffre
-Nombre de zéros
-Précision
Ici R = 5 600

Résistances de puissance maximale d'un 1/4 de W ou 1/2 W.
La bague dorée indique une précision de 5%.

- Le condensateur:

Condensateur variable 47 nanoF sous 250 V maximum

i = C du/dt
q = C u
i = dq/dt

Condensateur électrochimique 4,7 microF sous 25 V maximum (polarisé, ne peut fonctionner en régime alternatif)

où C est la capacité en Farads (F). Si q est la charge sur l'armature où arrive le courant (la charge électrique -q est présente sur l'autre armature) i=dq/dt, sinon i=-dq/dt . Si q est la charge sur l'armature où arrive la flêche de la tension alors q=Cu, sinon q=-Cu . En CG i = - C du/dt .

Par ailleurs savoir obtenir les formes intégrales: i = C du/dt

du/dt = 1/C . i

(du/dt)dt = 1/C .

i dt

u(t) = 1/C .

i dt + u(to) .

- L'inductance:

u = L di/dt
L en Henry (H)

exercice: établir l'expression
de i(t) sous forme intégrale.

- Générateur de courant:

Ce dipôle impose le courant io dans la branche quelquesoit la tension à ses bornes:
i=io

u, io=cste

- Générateur de tension:

Ce dipôle impose la tension e à ses bornes quelquesoit le courant dans la branche:
u=e

i, e=cste

Exercice: conventions de signes

6) Dipôles linéaires réels

Les dipôles décrit précédemment sont des idéalisations. On peut associer plusieurs dipôles modèles pour approcher la réalité:

-Bobine réelle en Basse Fréquence:

-Bobine réelle en Haute F:

- Condensateur avec résistance de fuite (très grande), en BF:

-Générateur de tension de Thévenin
(e: force électromotrice, r: résistance interne):

-Générateur de courant de Norton
(io: courant électromoteur, r: résistance interne):

Exercices: générateurs

7) Association de dipôle linéaires:
a) en série:

Raisonnons tout d'abord sur les résistances:

d'où:

u = u₁ + u₂ + u₃+ ...i = i₁ = i₂ = i₃ = ...
u_k = R_k i_k_{avec k = 1 ... n}

et finalement nous avons la résistance équivalente: R_éq = R₁ + R₂ + ... + R_n =

R_k car u = R_éq i .

Exercice: démontrer que en série L_éq =

L_k et 1/C_éq =

1/C_k (pour cette deuxième relation on dérivera par raport au temps le relation d'additivité des tensions).

b) en parallèle:

Raisonnons tout d'abord sur les inductances:

d'où:

i =

i_ku = u_k
u_k = L_k di_k/dt,

nous avons: di/dt =

di_k/dt

di/dt =

u_k/L_k =

u/L_k = [

1/L_k] . u or u = L_éq di/dt d'où: 1/L_éq =

1/L_k .

Exercice: démontrer que en parallèle C_éq =

C_k et 1/R_éq =

1/R_k .

On apprendra par cœur une relation très utilisée pour deux résistances en parallèle: R_éq =R₁R₂/(R₁+R₂) (à démontrer).

Exercice: quelle est la résistance équivalente pour trois résistances en parallèle (attention ce n'est pas: R_éq =R₁R₂R₃/(R₁+R₂+R₃), relation non homogène!)

Exercices: résistances équivalentes (1).

c) Des équivalences utiles:

Une résistance pour laquelle on a en toutes circonstances i=0 (ou u=0) peut être indifférement remplacée par un fil ou enlevé du circuit. Si deux points d'un circuit sont au même potentiel on peut les relier par un fil. Si un fil est parcouru par un courant nul on peut l'enlever.

(Voir les symètries pour la mise en pratique)

d) symètries:
Dans certains cas l'utilisation des symètrie peut s'avérer très utile et éviter de nombreux calculs.

P: plan de symètrie physique du réseau.
Du point de vu électrique P peut être de deux types:
P_S: plan de symètrie pour les courants et les potentiels.
P_AS: plan d'antisymètrie pour les courants et les potentiels (en prenant le potentiel nul sur le plan).

Une branche placée sur un P_AS est parcourue par un courant nul.
Prenons un exemple (voir figure). Toutes les resistances sont identiques (R) ce qui donne naissance à plusieurs symètries: un P_S et un P_AS.

Le courant I se sépare en deux courants identiques j, en effet il n'y a aucunes raisons pour que les porteurs de charges aillent plus d'un coté que d'un autre. Même chose quand le courant I ressort.

En appliquant la loi des nœuds la résistance centrale se trouve parcourue par un courant nul quelquesoit le courant I ou la tension U imposé à l'ensemble.
D'après les équivalences vues précedemment nous pouvons donc enlever cette résistance, et la résistance équivalente entre les deux bornes est tout simplement R!

Exercices: résistances équivalentes (2).